被积函数是 x 乘以 lnx，也就是∫ x lnx dx，它的原函数使用分部积分法求解，最终结果是 1/2 x² lnx 减 1/4 x² 加常数 C，这个是高数不定积分高频题型，很多同学容易选错 u 和 dv，最后算错符号，核心思路就是利用分部积分公式，把 lnx 选作 u，因为对数函数求导之后会变成有理函数，消掉 lnx，让积分变得容易计算。分部积分公式是∫u dv = uv 减 ∫v du，这道题不能反过来把 x 当成 u，如果选 x 作为 u，求导之后剩下 lnx 的积分，还是会保留对数，计算难度不会下降，所以这道题固定套路就是 lnx 做 u，x dx 做 dv。

一 基础信息对照表

二 完整推导步骤

第一步 设定 u = lnx，dv = x dx

第二步 求 du 和 v

du = (1/x) dx

v = ∫ x dx = 1/2 x²

第三步 代入分部积分公式 ∫u dv = uv 减 ∫v du

原式 = 1/2 x² lnx 减 ∫ (1/2 x²) (1/x) dx

第四步 化简后面积分项

(1/2 x²)(1/x)= 1/2 x

所以后面变成 ∫ 1/2 x dx

第五步 计算剩余积分

∫ 1/2 x dx = 1/4 x²

第六步 合并结果，加上积分常数 C

∫ x lnx dx = 1/2 x² lnx 减 1/4 x² + C

三 验算方法

对结果求导，验证导数是不是等于被积函数 x lnx

F (x)= 1/2 x² lnx 减 1/4 x²

F'(x)= 1/2 2x lnx + 1/2 x²(1/x) 减 1/2 x

化简 = x lnx + 1/2 x 减 1/2 x = x lnx

求导结果和被积函数一致，说明原函数计算正确。

四 易错点总结

五 同类题型拓展

这个题型属于典型的 幂函数乘对数函数 积分，同类还有∫x² lnx dx，同样采用分部积分，lnx 取 u，幂函数部分取 dv，解题思路完全一致。

综合来看，lnx 乘以 x 的原函数，核心就是分部积分，选定 lnx 为 u，x dx 为 dv，推导得到 1/2 x² lnx 减 1/4 x² + C，做完一定要求导验算，重点留意分部积分的负号还有常数 C。

【常见问题】

问题 1 lnx x 的原函数怎么求，为什么一定要选 lnx 作为 u

回答 1 lnx x 的原函数怎么求，选 lnx 作为 u 是因为 lnx 求导之后变成 1/x，可以消掉对数，让积分变成幂函数积分，如果选 x 作为 u，积分仍然带有 lnx，计算更加困难。

问题 2 lnx x 的原函数怎么求，定积分的时候还要加 C 吗

回答 1 lnx x 的原函数怎么求，不定积分结果必须加常数 C，如果是定积分计算，代入上下限的时候常数 C 会抵消，不需要写 C。

问题 3 lnx x 的原函数怎么求，可以换元法做吗

回答 1 lnx x 的原函数怎么求，这道题优先分部积分，换元法计算会更加繁琐，考试标准解法就是分部积分法。

问题 4 lnx x 的原函数怎么求，x 等于 0 可以吗

回答 1 lnx x 的原函数怎么求，lnx 本身要求 x 大于 0，所以这个原函数定义域是 x>0，x=0 处 lnx 没有定义。

免责声明：本文为高等数学不定积分解题科普，符号写法以国内主流高数教材为准，内容仅供学习备考参考，不作为唯一权威定论。