在数学分析中，“无穷小”是一个重要的概念，它描述的是一个变量在某种情况下趋近于零的过程。而“同阶无穷小”则是对两个或多个无穷小量之间关系的一种精细刻画。本文将围绕这一主题展开讨论，并结合实例探讨其在求解极限问题中的应用。
一、无穷小的基本定义
首先回顾一下无穷小的概念：设函数 \( f(x) \) 在某点附近有定义（或当 \( x \to x_0 \) 或 \( x \to \infty \) 时），如果满足
\[
\lim_{x \to x_0} f(x) = 0,
\]
则称 \( f(x) \) 是当 \( x \to x_0 \) 时的一个无穷小量。
例如：
- 当 \( x \to 0 \) 时，\( f(x) = x^2 \) 是无穷小；
- 当 \( n \to \infty \) 时，\( g(n) = \frac{1}{n} \) 也是无穷小。
二、同阶无穷小的定义与意义
所谓“同阶无穷小”，是指两个无穷小量之间的增长速度相同。具体来说，若函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 满足
\[
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = C \quad (C > 0),
\]
其中 \( C \) 是一个常数，则称 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 是当 \( x \to x_0 \) 时的同阶无穷小。
举例说明
1. 当 \( x \to 0 \) 时，\( f(x) = x^2 \) 和 \( g(x) = x \) 不是同阶无穷小，因为
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0.
\]
这表明 \( x^2 \) 的增长速度比 \( x \) 更慢。
2. 当 \( x \to 0 \) 时，\( f(x) = x^3 \) 和 \( g(x) = x^2 \) 也不是同阶无穷小，因为
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = 0.
\]
3. 当 \( x \to 0 \) 时，\( f(x) = 2x \) 和 \( g(x) = x \) 是同阶无穷小，因为
\[
\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2.
\]
由此可见，同阶无穷小的核心在于两者的比例趋于一个非零常数。
三、同阶无穷小的应用——求解极限问题
在实际计算中，同阶无穷小的概念可以帮助我们简化复杂的极限问题。以下通过几个典型例子来说明这一点：
例 1
求极限
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}.
\]
观察到分子中的 \( \sin x \) 和 \( x \) 都是当 \( x \to 0 \) 时的无穷小量。利用泰勒展开公式：
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3),
\]
因此，
\[
\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3).
\]
于是，
\[
\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac{1}{6} + o(1).
\]
由此可得
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}.
\]
例 2
求极限
\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}.
\]
同样利用泰勒展开公式：
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2),
\]
因此，
\[
e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + o(x^2).
\]
于是，
\[
\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2} + o(1).
\]
由此可得
\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}.
\]
四、总结
同阶无穷小的概念不仅揭示了两个无穷小量之间的相对增长速度，还为解决极限问题提供了强大的工具。通过合理运用泰勒展开等方法，我们可以快速判断两个无穷小是否同阶，并将其应用于复杂极限的化简和求解中。
希望本文能够帮助读者更好地理解同阶无穷小的本质及其在数学分析中的重要地位！
