【直线与圆相交的弦长公式】在解析几何中，当一条直线与一个圆相交时，会形成一条弦。这条弦的长度可以通过一定的数学公式进行计算。掌握这一公式不仅有助于理解几何关系，还能在实际应用中提高解题效率。

一、直线与圆相交的弦长公式总结

设圆的方程为：

$$

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

$$

其中，$(a, b)$ 是圆心坐标，$r$ 是圆的半径。

设直线的方程为：

$$

Ax + By + C = 0

$$

若直线与圆相交，则交点之间的距离即为弦长。根据几何原理，可以使用以下公式计算弦长：

$$

\text{弦长} = 2\sqrt{r^2 - d^2}

$$

其中，$d$ 是圆心到直线的距离，计算公式为：

$$

d = \frac{Aa + Bb + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

二、公式推导简要说明

1. 圆心到直线的距离 $d$：

通过点到直线的距离公式计算得到。

2. 弦长公式：

利用勾股定理，将圆心到直线的距离 $d$ 和半径 $r$ 构成直角三角形，从而得出弦的一半长度为 $\sqrt{r^2 - d^2}$，再乘以 2 得到完整的弦长。

三、常见情况对比表

四、实例分析

例题：已知圆的方程为 $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$，直线方程为 $x + y - 5 = 0$，求该直线与圆相交所形成的弦长。

解法步骤：

1. 圆心 $(a, b) = (1, 2)$，半径 $r = 3$

2. 计算圆心到直线的距离：

$$

d = \frac{1 + 2 - 5}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

$$

3. 计算弦长：

$$

\text{弦长} = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{9 - 2} = 2\sqrt{7}

$$

答案：弦长为 $2\sqrt{7}$

五、小结

直线与圆相交的弦长公式是解析几何中的重要内容，它结合了点到直线的距离和圆的基本性质。通过合理运用该公式，可以快速解决相关问题。在学习过程中，建议多做练习题，加深对公式的理解和应用能力。