【直线到圆的距离公式】在解析几何中，计算一条直线到一个圆的最短距离是一个常见的问题。这个距离可以帮助我们判断直线与圆的位置关系：相交、相切或相离。本文将对“直线到圆的距离公式”进行总结，并通过表格形式展示关键内容。

一、基本概念

- 直线：由一般式 $ Ax + By + C = 0 $ 表示。

- 圆：由标准式 $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $ 表示，其中 $(a, b)$ 是圆心，$r$ 是半径。

- 直线到圆的距离：指的是从圆心到直线的垂直距离，记作 $d$。

二、直线到圆的距离公式

直线 $ Ax + By + C = 0 $ 到圆心 $(a, b)$ 的距离公式为：

$$

d = \frac{Aa + Bb + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

该公式来源于点到直线的距离公式。

三、直线与圆的位置关系判断

根据直线到圆心的距离 $d$ 与圆的半径 $r$ 的大小关系，可以判断直线与圆的位置关系：

四、应用举例

例题：已知直线 $2x + y - 5 = 0$，圆的方程为 $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$，求直线到圆的距离，并判断位置关系。

解：

- 圆心为 $(1, 2)$，半径 $r = 2$

- 代入公式得：

$$

d = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 5}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2 + 2 - 5}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447

$$

- 因为 $d < r$，所以直线与圆相交。

五、总结

直线到圆的距离是解析几何中的重要概念，它不仅帮助我们理解几何图形之间的相对位置，还能用于解决实际问题，如碰撞检测、路径规划等。掌握这一公式的推导和应用，有助于提升数学分析能力。

通过以上内容，我们可以清晰地理解直线到圆的距离公式及其应用方法。