【洛必达法则7种典型例题】洛必达法则（L’Hospital’s Rule）是微积分中用于求解不定型极限的重要工具，尤其适用于0/0或∞/∞型的极限问题。掌握其应用方法和常见题型对于学习高等数学具有重要意义。本文总结了7种典型的洛必达法则应用例题，并以表格形式呈现关键信息，便于理解和记忆。
一、洛必达法则简介
洛必达法则指出：若函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在某点 $ x = a $ 的邻域内可导，且满足：
- $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ 且 $\lim_{x \to a} g(x) = 0$
- 或 $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ 且 $\lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty$
则有：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
前提是右边的极限存在或为无穷大。
二、典型例题总结（附表格）
| 序号 | 极限表达式 | 类型 | 解题步骤 | 结果 |
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 0/0 | 对分子分母分别求导，$\frac{\cos x}{1}$ | 1 |
| 2 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ | 0/0 | 分子分母求导，$\frac{e^x}{1}$ | 1 |
| 3 | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ | ∞/∞ | 连续两次使用洛必达法则 | 0 |
| 4 | $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ | 0/0 | 化简后直接代入或使用洛必达 | $\frac{3}{2}$ |
| 5 | $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x}$ | -∞/0 | 分子趋向负无穷，分母趋向0正，结果为 -∞ | -∞ |
| 6 | $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ | ∞/∞ | 使用一次洛必达法则 | 0 |
| 7 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | 0/0 | 使用洛必达法则两次 | $\frac{1}{2}$ |
三、注意事项
1. 适用条件：必须是0/0或∞/∞型，否则不能直接使用洛必达法则。
2. 多次使用：有些题目需要连续使用洛必达法则，如多项式与指数函数的比较。
3. 避免循环：如果反复使用洛必达法则仍无法得到结果，可能需要换一种方法（如泰勒展开、等价无穷小替换等）。
4. 注意极限方向：对于单侧极限，需特别关注趋近方向是否一致。
四、结语
洛必达法则是解决不定型极限的一种高效手段，但并非万能。在实际应用中，应结合其他方法综合判断。通过熟练掌握上述7种典型例题，可以有效提升对洛必达法则的理解与运用能力，为后续学习打下坚实基础。
