【求所有三角恒等变换公式,包括各种变式、万能公式!】在三角函数的学习和应用中，掌握各种三角恒等变换公式是必不可少的。这些公式不仅用于简化计算，还能帮助解决复杂的三角问题。本文将系统地总结常见的三角恒等变换公式，并附上表格形式的整理，便于查阅与记忆。
一、基本三角恒等式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式，适用于任意角$\theta$ |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 由基本恒等式推导而来 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 同样由基本恒等式推导 |
二、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦的和差角公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦的和差角公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切的和差角公式 |
三、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2A = 2\sin A \cos A$ | 正弦的二倍角公式 |
| $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$ | 余弦的二倍角公式（多种表达方式） |
| $\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$ | 正切的二倍角公式 |
四、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$ | 正弦的半角公式 |
| $\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$ | 余弦的半角公式 |
| $\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}$ | 正切的半角公式（多种表达方式） |
五、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 正弦与余弦的乘积化为和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 余弦与余弦的乘积化为和差 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ | 正弦与正弦的乘积化为和差 |
六、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 正弦的和化为积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 正弦的差化为积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 余弦的和化为积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 余弦的差化为积 |
七、万能公式（用正切表示其他三角函数）
| 公式 | 说明 |
| $\sin \theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2\frac{\theta}{2}}$ | 用正切表示正弦 |
| $\cos \theta = \frac{1 - \tan^2\frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2\frac{\theta}{2}}$ | 用正切表示余弦 |
| $\tan \theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1 - \tan^2\frac{\theta}{2}}$ | 用正切表示正切 |
八、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 奇函数性质 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 偶函数性质 |
| $\tan(-\theta) = -\tan\theta$ | 奇函数性质 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 补角关系 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 补角关系 |
| $\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$ | 补角关系 |
总结：
三角恒等变换公式种类繁多，但它们之间有着密切的联系，很多公式都可以通过基本恒等式或和差角公式进行推导。掌握这些公式不仅能提高解题效率，还能加深对三角函数本质的理解。建议结合图形理解公式的意义，并通过练习不断巩固记忆。
