在金融学和财务管理领域，理解资金的时间价值至关重要。而普通年金终值系数是计算等额支付序列在未来某个时间点上的总价值的重要工具之一。为了更好地掌握这一概念及其背后的逻辑，我们需要深入探讨其公式的推导过程。

首先，我们来明确什么是普通年金终值系数。普通年金是指一系列相等金额的款项，在每个周期末发生的一种支付形式。例如，定期存款、分期付款等都属于此类。而普通年金终值则是指这些款项按照一定的利率累计到未来的某一时刻的价值总和。

那么，如何从基本原理出发推导出普通年金终值系数呢？我们可以这样思考：

假设每年年末都有一个固定的金额A存入银行，并且该笔资金按固定利率i进行复利增长。如果我们将这笔资金视为一个为期n年的投资，则其最终的价值FV可以通过以下方式计算得出：

对于第一年的存款A，它将在n年内增值至A(1+i)^n；

对于第二年的存款A，它将在(n-1)年内增值至A(1+i)^(n-1)；

以此类推，直到最后一笔存款A，它仅需经历一年的增长即变为A(1+i)。

因此，整个投资组合的终值FV就是所有单笔存款未来价值之和：

\[ FV = A \cdot (1+i)^n + A \cdot (1+i)^{n-1} + ... + A \cdot (1+i) \]

接下来，我们利用数学中的等比数列求和公式来简化上述表达式。设等比数列为a, ar, ar^2,...,ar^{n-1}，则其前n项和S_n为：

\[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \]

将此公式应用于我们的情况中，可以得到：

\[ FV = A \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{(1+i)-1} \]

进一步整理后可得：

\[ FV = A \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} \]

这里，\(\frac{(1+i)^n - 1}{i}\) 就是我们所说的普通年金终值系数。它表示当每期支付金额为1时，在利率i下经过n期后的总价值。

通过以上步骤，我们不仅得到了普通年金终值系数的具体形式，还了解了它是如何基于复利增长理论以及等比数列求和公式推导而来的。这种对基础概念的深刻理解有助于我们在实际应用中更加灵活地运用这一工具，无论是评估长期投资项目还是规划个人理财方案等方面都能发挥重要作用。